NOMBRES DECIMAUX

I. Qu'est-ce qu'un nombre décimal ?


Nous comptons, nous calculons avec des nombres décimaux c'est-à-dire qui appartiennent à un système décimal :
Toutes les 10 unités, nous avons une unité supérieure .
Pourquoi 10 ? probablement parce que nous avons dix doigts ...
Tous les systèmes de numération ne sont pas décimaux :
Les Babyloniens avaient un système de calcul où il fallait 60 unités pour avoir une unité supérieure (comme nos secondes/minutes ..)
Les ordinateurs ou les calculettes ont un système binaire ( 2 unités seulement) .
Dans notre système décimal, nous utilisons 10 chiffres appelés chiffres arabes et chaque chiffre a une place bien déterminée dans le nombre .

 

Remarques:
* Le mot mille est invariable
EX : cinq mille
 
* Les mots cent et vingt prennent un S s'ils terminent le mot ou s'ils sont suivis d'un nom (comme millions , milliards ..)
Ex : quatre cents ; deux cent quarante
quatre-vingts millions ; quatre-vingt mille sept cent quatre-vingts
 
* Les nombres composés inférieurs à 100 s'écrivent avec un trait d'union sauf s'ils sont reliés par la conjonction "et"
 
*un jeu ? Avec les trois mots : quatre, vingt et mille essaie de former le plus de nombres entiers possibles
Tu dois les écrire en chiffres et en lettres ( attention aux fautes ! )
La solution ?
 

II. Ecriture décimale


a) . Le chiffre des dizaines du nombre 3 582 est 8
9 est le chiffre des dixièmes du nombre 475,963
Le nombre "sept dixièmes" a pour écriture décimale 0,7
Le nombre "cinq mille deux cents millièmes" a pour écriture décimale 5,2
 
b) Dans l'écriture décimale d'un nombre, la place de la virgule indique la valeur représentée par chaque chiffre.
 
Remarque :
On n'écrit pas les zéros inutiles
3 582, 000 = 3 582
Le nombre décimal 3 582 est un nombre entier
0475,693 0 = 475,693
 
c) Décomposition d'un nombre décimal
. 3 582 = 3 X 1 000 + 5 X 100 + 8 X 10+ 2
. 475,693 = 4 X 100 + 7 X 10 + 5 + 6 X 1/10 + 9 X 1/100 + 3 X 1/1 000
. 5 X 10 000 + 2 X 1 000 + 6 X 100 + 3 X 10 + 4 = 52 634
. 9 X 10 + 8 X 0.1 + 5 X 0.00 1 = 90,805
 
d) . Soit le nombre 17 625 : son chiffre des centaines est 6
son nombre de centaines est 176
. Soit le nombre 1,70 3 : son chiffre des millièmes est 3
son nombre de millièmes est 1 703
 
e) . Trouver le nombre entier dont le chiffre des unités est 0, le chiffre des dizaines est 1 et le nombre de centaines est 20 :
2 010
. Trouver le nombre décimal qui s'écrit avec deux chiffres après la virgule, dont le nombre de dixièmes est 285 et dont le chiffre des centièmes est plus grand que le chiffre des unités :
28,59
 

III. Ecriture fractionnaire


a) . Ecrire sous forme fractionnaire :
0,7 = 7/10 (sept dixièmes )
0,07 = 7/100 (sept centièmes )
0,007 = 7/1 000 (sept millièmes )
12,9 = 129/10
4,63 = 463/100
0,814 = 814/1000
 
. Ecrire sous forme décimale :
18/10 = 1,8
18/100 = 0,18
18/1 000 = 0,018
425/100 = 4,25
902/1 000 = 0,902
5 671/10 = 567,1
 
25/10 = 2,5
250/100 = 2,5
2 500/1 000 = 2,5
 
Remarque:
2,5= 25/10 = 250/100 = 2 500/1 000
Un nombre décimal a une infinité d'écritures fractionnaires :
 
. Ecrire chaque nombre sous la forme d'une somme d'un nombre entier et d'une fraction :
3,51 = 3 + 51/100
82,726 = 82 + 726/1 000
9,090 4 = 9 + 904/10 000
 

IV. Abscisse d'un point


 
A    B            
I-----I-----I-----I-----C-----I-----I-----I-----I-----I-----I-----I-----I-----
. L'abscisse du point A est le nombre 0 ;
. L'abscisse du point B est le nombre 1 ;

. L'abscisse du point C est le nombre 4 ;
 
Chaque point d'une demi-droite graduée peut être repéré grâce à un nombre appelé son abscisse .
L'origine de la demi-droite graduée a pour abscisse : 0

 

V. Rangement de nombres


 
a) . Compléter avec < ou > :
7,36 < 9,1 car 7 < 9
406,05 >134,989 car 406 > 134
12, 45 > 12, 399 car 4 >3
0, 178 < 0, 23 car 1 < 2
3,2 8 > 3,2 car 8 > 0
70,15 1 3 < 70,15 4 car 1 < 4
 
. Pour comparer deux nombres décimaux, on compare leurs parties entières
Si les parties entières sont égales, on compare les chiffres des dixièmes
Si les chiffres des dixièmes sont égaux, on compare les chiffres des centièmes et ainsi de suite .
 
b) On peut ranger les nombres décimaux 3,17 ; 4 ; 3,4 ; 3 ; 3,159 et 3,02 :
- dans l'ordre croissant (du plus petit au plus grand)
3 < 3,02 < 3,159 < 3,17 < 3,4 < 4
ou bien
dans l'ordre décroissant (du plus grand au plus petit)
4 > 3,4 > 3,17 > 3,159 > 3,02 > 3

 

VI. Troncature à l'unité


 
. La troncature à l'unité de 6,713 est 6,
celle de 40,2 est 40,
 
. La troncature à l'unité d'un nombre décimal est sa partie entière

 

VII. Encadrement à une unité près


 
. Compléter, dans chaque cas, avec deux nombres entiers consécutifs :
6 < 6,713 < ; 7
40 < 40,2 < 41
 
. Donner les encadrements à une unité près des décimaux 195,36 et 0,847 :
195 < 195,36 < ; 196
0 < 0,847 < 1
 
. Arrondi à l' unité :
 
. De quel nombre entier le nombre décimal 6,713 est-il le plus proche ?
6,713 est plus proche de 7 que de 6
l'arrondi à l' unité de 6,713 est 7
on note : 6,713 ± 7
 
. De quel nombre entier le nombre décimal 40,2 est-il le plus proche ?
40,2 est plus proche de 40 que de 41
l'arrondi à l' unité de 40,2 est 40
on note : 40,2 ± 40
 
. L'arrondi à l' unité d'un nombre décimal est l'entier dont il est le plus proche .
 
. Le nombre entier 2 est l'arrondi à l' unité du nombre décimal 2, ? . (un chiffre après la virgule)
Trouver ce nombre décimal.
il y a plusieurs solutions : le nombre peut être 2 ; 2,1 ; 2,2 ; 2,3 ou 2,4
Remarque: 2,0 = 2
 
Le nombre entier 74 est l'arrondi à l' unité du nombre décimal 73, ? .
Trouver ce nombre décimal.
il y a plusieurs solutions : le nombre peut être 73,5 ; 73,6 ; 73,7 ; 73,8 ou 73,9
 
. Trouver les arrondis à l' unité des nombres décimaux suivants :
120,49 ? 120
120,94 ? 121
47,5 ? 48
3,169 ? 3

 

VIII. MULTIPLIER, DIVISER PAR 10 ou 100 ou 1 000 ...


 
1. a)Exemples
53 X 10 = 530
4,942 1 X 100 = 494 ,21
0,008 7 X 1 000 = 8,7
0,002 X 10 000 = 20
 
b) Pour multiplier un nombre décimal par 10 ou 100 ou 1 000 .......
on décale la virgule d'un, de deux ou de trois rangs vers la droite .
 
2. a)Exemples :
19 : 10 = 1 ,9
7 2 00 : 1 00 = 72
307,5 : 1 000 = 0,3 705
80 000 000 : 1 000 000 = 80
 
b) Pour diviser un nombre décimal par 10 ou 100 ou 1 000 .......

on décale la virgule d'un, de deux ou de trois rangs vers la gauche .
 
3. a)Exemples :
2,8 X 0,1 = 2,8 : 10 = 0,28
7 200 X 0,01 = 7 200 : 100 = 72
307,5 X 0,001 = 307,5 : 1 000 =0,307 5
 
b) Multiplier un nombre décimal par 0,1 ou 0,01 ou 0,001 ....... revient à
le diviser par 10, 100 ou 1 000 .
 
4. a)Exemples :
45 : 0,1 = 45 X 10 = 450
2,319 : 0,01 = 2,319 X 100 = 231,9
6 : 0,001 =6 X 1 000 = 6 000
 
b) Diviser un nombre décimal par 0,1 ou 0,01 ou 0,001 ....... revient à
le multiplier par 10, 100 ou 1 000 .
 

 

IX. système métrique et conversions


 
Notre système métrique est décimal et a été adopté après la Révolution Française .
Mais pour mesurer le temps, on emploie toujours un système sexagésimal (il faut 60 unités pour avoir l'unité supérieure ).
Le principe est le même pour mesurer les longueurs , les masses ou les capacités et il est utile de savoir ce que veut dire chaque préfixe :

Remarques :
* on emploie rarement l'unité kL (kiloLitre), elle est surtout employée dans les entreprises de stockage de produits chimiques .
* il existe des "passerelles" entre les unités de volume et les unités de capacité :
un litre correspond à un décimètre-cube
on note : 1 L = 1 dm3
si tu oublies de quelle unité il s'agit , réfléchis :
- dans quel cube pourrais-tu verser un litre d'eau ?
. dans un cube de 1 mm d'arête ? (= 1 mm3) ce qui correspond à un minuscule grain de sable
. dans un cube de 1 cm d'arête ? (= 1 cm3) ce qui correspond à un dé à jouer
. dans un cube de 1 dm d'arête (ou 10 cm ) ? (= 1 dm3) ce qui correspond à une boîte , genre mouchoirs en papier
. dans un cube de 1 m d'arête ? (= 1 m3) ce qui correspond à une énorme caisse pour mettre un lave-linge
 
a) Compléter avec des nombres décimaux :
7,03 m = ..dm
4 810 m = .. hm
0,062 dam = .. mm.
Réponses :
7,03 m = 70,3 dm
4 810 m = 48,1 hm
0,062 dam = 620 mm.
 
b) Compléter avec les unités convenables :
3,9 L = 0,39 ..
52 000 mL = 0,52 ..
19 L = 1,9 ...
Réponses :
3,9 L = 0,39 daL
52 000 mL = 0,52hL
19 L = 1,9daL
 
 
c) Compléter avec des fractions :
0,08 g = .. dag
0,005 dag = .. g
300 dg = .. hg.
Réponses :
0,08 g = 8/1 000 dag
0,005 dag = 5/100 g
300 dg = 3/10 hg.
 
d) Compléter avec < ou > :
50,38 dg .. 3 090 mg
0,075 hg .. 0,08 kg
9 t .. 89 q.
Réponses :
50,38 dg >3 090 mg
0,075 hg < 0,08 kg
9 t >89 q.
 
e) Compléter :
* 2 h 35 min 19 s = s
* 4 230 s = h min s
Réponses :
* 2 h 35 min 19 s = 2 X 3600 + 35 X 60 + 19 = 9 319 s
* 4 230 s = 1 h 10 min 30s
 
f)Ecrire en heure décimale :
30 min = .. h
3 h 15 min = .. h
10 h 45 min = .. h
Réponses :
30 min = 0,5 h
3 h 15 min = 3,25 h
10 h 45 min = 10,75. h
 
La solution du petit jeu numérique
Avec les mots mots QUATRE, VINGT et MILLE , on peut former 6 nombres :
80 000 : quatre-vingt mille
4 020 : quatre mille vingt
24 000 : vingt-quatre mille
20 004 : vingt mille quatre
1 080 : mille quatre-vingts
1 024 : mille vingt-quatre
 
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