LES FONCTIONS AFFINES

L'étude des fonctions s'appelle l'analyse et il ne faut pas en avoir peur, c'est même amusant .. surtout que tu peux avoir , grâce à une calculatrice graphique, plein de renseignements sur la fonction d'après le comportement de la courbe .. (Et avec un ordinateur, il y a des logiciels pour tracer les courbes qu'il te faudrait installer : tu peux en télécharger gratuitement) .


1- Exemples et situations
2- Définition
3- Représentation graphique
4- Variations
5- Calcul du cœfficient a
6- Equation de la droite
7- Coordonnées du milieu d'un segment
8- Longueur d'un segment

D'abord une fonction , qu'est-ce que c'est ?


Prenons le cas des fonctions numériques (= avec des nombres mis en relation):

Par exemple, le matin, j'achète des croissants à 0,70 Euro l'un avant d'aller travailler .. et cela reste vrai pour toute l'année .
Si je te demande à combien cela m'est revenu l'année passée, tu me répondras que tu n'en sais rien car cela dépend du nombre de croissants que j'ai achetés ;
La seule chose sûre , c'est le prix du croissant , le nombre de croissants et le prix de ces croissants sont deux nombres QUI PEUVENT VARIER ; on les appellera des VARIABLES et en plus, ces deux nombres sont FONCTION l'un de l'autre ( = dépendent l'un de l'autre) . Ca y est ! le mot est lâché !

Si j'appelle x le nombre de croissants, pour trouver le prix à payer que j'appellerai y , j'aurais à calculer 0,7 fois x :
je note donc : y = 0,7 x

Et voilà une fonction (simple) définie :
deux nombres varient, l'un en fonction de l'autre , il s'agit de x et y , les variables de la fonction alors que 0,7 ne change pas, c'est une constante .

Je dirais que :
- le nombre x a pour image le nombre y
- le nombre y a pour antécédent (ante = avant) le nombre x


Je peux établir un tableau de valeurs où je noterai d'après les valeurs de x celles que j'obtiens pour y ( en multipliant par 0,7) ou bien l'inverse ( à partir de y je divise par 0,7 pour retrouver x ) :

x

1

2

5

12

50

80

100

y = 0,7x

0,7

1,4

3,5

8,4

35

56

70


Toute fonction numérique peut être représentée par une courbe tracée dans un repère :
les x sont les nombres portés en abscisses , les y sont les ordonnées et pour chaque point de la courbe correspondent deux valeurs liées l'une à l'autre par un calcul défini par la fonction choisie : ( x ; y ) sont ses coordonnées .

Pour l'exemple précédent , tu peux constater que pour 5 croissants, j'aurai à payer 3,50 Euros (0,7x5 = 3,5) donc , sur le graphique, le point d'abscisse 5 a pour ordonnée 3,5 .


Cette fonction est représentée par une courbe particulière : c'est une droite passant par l'origine de notre repère ;
Tu remarqueras que cette fonction est, en fait, une relation de proportionnalité (=si j'achète deux fois plus, je paie deux fois plus !) et tu as vu dès la classe de 4ème qu'on l'appelle une fonction linéaire .
C'est une fonction de référence de la forme y = ax .

Si maintenant je prends un autre exemple :


Sur mon lieu de travail, je peux acheter des croissants moins chers, à 0,50 Euro l'un à condition d'être membre du Club des Gentils et de payer ma carte 10 Euros par an .. alors là, le prix y des croissants variera ainsi : y = 0,5 x + 10 ;
Si je n'achète aucun croissant, je paierai quand même 10 Euros.
si ,dans l'année, j'achète 100 croissants, j'en aurai pour 60 Euros alors que dans la 1ère situation cela me reviendrait à 70 Euros .
Cette nouvelle fonction est de la forme y = ax + b ( x et y varient alors que les constantes a et b sont fixées)et sa représentation graphique sera une droite mais elle ne passera pas par l'origine du repère ; elle passera par le point de coordonnée (0,b ), le nombre b étant appelé l'ordonnée à l'origine .

cette fonction est aussi une fonction de référence : il s'agit d'une fonction affine .
Je te ferai remarquer qu'une fonction linéaire est une fonction affine particulière, car , dans son cas, b = 0.


Voici le tableau des valeurs :

x

1

2

5

12

50

80

100

y = 0,5x + 10

10,5

11

12,5

16

35

50

60


Dernière situation, je peux prendre une carte de membre Exceptionnel au prix de 70 euros par an, cette carte me donnant droit à tous les croissants que je veux sans payer.
Je noterai cette fonction y=70 .
Cette fonction est constante, quels que soient les x choisis, y sera toujours égal à 70 ; la droite représentant cette fonction affine (cas où a=0) est parallèle à l'axe des abscisses.
L'intérêt de ces trois situations , c'est de les comparer :
quel nombre de croissants faut-il atteindre pour que s'incrire au Club des Gentils soit plus intéressant, par exemple ?
j'ai trois cas, notés ainsi :
y = 0,7x , y = 0,5x + 10 et y = 70
tu remarqueras que ce n'est pas pratique :
si je te dis de calculer y pour x = 15 , tu ne sais pas de quelle fonction je parle , la première , la deuxième ou la troisième ?
Pour simplifier , on décide, alors, de donner des noms aux fonctions avec lesquelles on travaille :
par exemple, j'appelle f, la fonction qui à x fait correspondre 0,7x et je noterai :
f(x) = 0,7x .
De même, j'appellerai g la deuxième fonction et h la troisième :
g(x) = 0,5x + 10 .
h(x) = 70
Exemples :
que doit-on payer pour 2 croissants ?
f (2) = 0,7 X 2 =1,4
g (2) = 0,5 X 2 + 10 =11
h (2) = 70

Je pourrai faire un tableau de valeurs commun aux trois fonctions :


x

1

2

5

12

50

80

100

f(x) = 0,7x

0,7

1,4

3,5

8,4

35

56

70

g(x) = 0,5x + 10

10,5

11

12,5

16

35

50

60

h(x) = 70

70

70

70

70

70

70

70


Ici, tu vois que pour 50 croissants, je paie la même chose, 35 Euros , pour f et g :
f(50) = 35 et g(50) = 35 ,
donc , en prenant moins de 50 croissants, acheter les croissants à la boulangerie reviendra moins cher mais au-delà et jusqu'à 100 croissants, il vaut mieux s'abonner au Club des Gentils !
Pour plus de 100 croissants , il vaut mieux la carte de membre Exceptionnel !

 
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Résumons, une fonction affine alors, qu'est-ce que c'est ?


Une fonction affine est une relation numérique particulière de la forme y = ax + b .
Les variables x et y sont fonction l'une de l'autre, elles sont liées par un calcul numérique.
La représentation graphique de cette fonction est une droite .
La constante a est le cœfficient directeur de cette droite.
La constante b est appelé ordonnée à l'origine : c'est l'ordonnée du point d'intersection de cette droite et de l'axe des ordonnées.

Dans le cas où b = 0 , cette fonction affine est dite linéaire,
Elle est de la forme y = ax .
C'est une relation de proportionnalité de cœfficient a.
La droite qui la représente passe par l'origine du repère.

Dans le cas où a = 0 , cette fonction affine est dite constante.
Elle est de la forme y = b .
La droite qui la représente est parallèle à l'axe des abscisses et passe par le point de coordonnées ( O, b ).

Mais attention ! l'équation x=5 n'est pas celle d'une fonction , même si on peut la représenter graphiquement par une droite parallèle à l'axe des ordonnées .
 
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Comment construire la droite représentant une fonction affine ?


deux points suffisent pour construire une droite :
comme f(0) = b, on se sert de l'ordonnée à l'origine , il suffit ensuite de déterminer un autre point en remplaçant x par une valeur simple.

Exemples :

g(x)= 2x+3
par exemple, la droite représentant g passe par le point de coordonnées (0,3);
on calcule ensuite g(1) = 2X1 + 3 = 5
Cette droite passera aussi par le point de coordonnées (1,5)
h(x)= -4 x + 1
par exemple, la droite représentant h passe par les points de coordonnées (0,1) et (1,-3)
i(x) = 3x-2
par exemple, la droite représentant i passe par les points de coordonnées (0,-2) et (1,1)
j(x)= -x -1
par exemple, la droite représentant j passe par les points de coordonnées (0,-1) et (1,-2)


* la courbe représentative d'une fonction affine est une droite
* b est l'ordonnée à l'origine ( valeur quand x=0 ), il nous indique le point d'intersection de la droite et de l'axe des ordonnées.
*la valeur de x quand y=0, permet de trouver le point d'intersection de la droite et de l'axe des abscisses.

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Comment varie une fonction affine ?



Exemples :

si j'achète des croissants à 0,70 euro l'un, plus j'en achète, plus je paierai.
Quand les x "augmentent" et que les "y" correspondants augmentent aussi, on dit qu'il s'agit d'une fonction croissante .
(la défintion mathématique est plus rigoureuse:
si pour deux valeurs x1 et x2 rangés dans cet ordre : x1 < x2 si leurs images correspondantes y1 et y2 sont rangées dans le même ordre y1 < y2 alors la fonction est croissante.)


Si je pars en voyage avec 50 L d'essence dans mon réservoir de voiture, plus je roule, moins j'aurais d'essence !
Ce sera une fonction décroissante.
Si ma voiture consomme 10 L aux 100 km, avec x (en abscisses) le nombre de km parcourus et y (en ordonnées) le nombre de litres d'essence restants, je peux résumer cette situation par la fonction f d'équation f(x)= -0,1x + 50
Au départ (0 km), j'ai 50 L soit f(0) = 50 .
Après 100 km : f(100)= -0,1 X 100 + 50 = -10 + 50 = 40
avec une consommation de 10 L aux 100 km, il est logique qu'il en reste 10 de moins !
Au bout de 500 km, il ne reste plus d'essence soit f(500) = 0.

D'autres exemples :

de fonctions affines croissantes :
y = 5 x + 9
y = 7,49 x - 12
y = 3V2 x

de fonctions affines décroissantes :
y = - 3 x
y = - V5 x + 7,2
y = -1,86 x - 1

Remarque :
Une fonction constante n'est ni croissante ni décroissante, son cœfficient directeur est nul.

Résumons :


Une fonction affine de la forme f(x)= ax + b ou f(x)= ax (si elle est linéaire) est monotone : (elle ne change pas de sens en cours de route !)
Elle est croissante si le cœfficient directeur a est positif
     et décroissante si a est négatif .
 


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Comment calculer le cœfficient directeur ?


je te rappelle que le cœfficient directeur est aussi nommé la pente de la droite et par conséquent la tangente de l'angle formé par la droite et une droite parallèlle à l'axe des abscisses. (la tangente d'un angle dans un triangle rectangle est le rapport entre le côté opposé et le côté adjacent)
observe le dessin, tu pourras conclure et retrouver la formule :
si la droite (EF) a pour équation y = ax + b alors
      yE - yF
a =     --------
        xE - xF
 
On a les points E(10;8) et F(4;5) alors
la droite (EF) a pour cœfficient directeur :
a = (8-5)/(10-4) = 3/6 = 1/2
l'équation de la droite sera :
f(x) = 1/2 x + 3 ou 0,5x + 3
 

 
Résumons :


Le cœfficient directeur de la droite (AB) d'équation y = ax +b ou pente de la droite est la mesure de la tangente de l'angle formé par la droite et une droite parallèlle à l'axe des abscisses.
Avec les coordonnées de deux points de la droite A(xA; yA) et B(xB ; yB), on aura :
        yB - yA
a = ----------
        xB - xA
 

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Comment déterminer l'équation d'une droite ?

Toute droite tracée dans un repère et non parallèle à l’axe des ordonnées est la représentation d’une fonction affine de la forme y =ax+b (même s’il arrive que b soit égal à 0 ).
Inversement, toute équation de la forme y =ax+b est l’équation d’une droite non parallèle à l’axe des ordonnées .
Toute droite d’équation y = ax (b=0) passe par l'origine du repère (cas d’une fonction linéaire).
Toute droite d’équation y = b est parallèle à l'axe des abscisses (cas d’une fonction constante, son cœfficient directeur a est nul ) .
Toute droite d’équation x = k est parallèle à l’axe des ordonnées mais ne traduit pas par une fonction.

• comment savoir si un point appartient à d’une droite ?

Un point appartient à la droite D d’équation y = ax+b
si ses coordonnées vérifient l'équation de cette droite .

Exemples:

Soit la droite D,d’équation y = - 2x + 7

- Le point K(3;1) est-il sur D?
on remplace x par 3 et on calcule y:
y= - 2 X 3 +7 = - 6 + 7 = 1 et 1 correspond bien à l’ordonnée de K,
donc K appartient à D.

- Le point L(- 1;10) est-il sur D?
on remplace x par - 1 et on calcule y:
y= - 2 X (- 1) +7 = 2 + 7 = 9 et 9 ne correspond pas à l’ordonnée de L,
donc L n’appartient pas à D.


• comment peut-on, à partir d’une droite, retrouver son équation ?

(1) en connaissant les coordonnées de deux de ses points et en remplaçant x et y par ces valeurs pour résoudre un système d’inconnues a et b ou bien en utilisant la formule permettant de trouver le cœfficient directeur a .

Exemple :

quelle est l’équation de la droite passant par A (2;9) et B (7;-1) ?

on peut résoudre ce système en remplaçant x et y dans y = ax+ b
9 = 2 a+ b
-1 = 7 a+ b
en retranchant membre à membre, on obtient :
10 = -5 a donc a = 10 / (- 5) = - 2

*ou calcul du cœfficient directeur avec la formule magique (voir au-dessus)
rappel: a = (yB - yA) / (xB - xA)
a = (-1- 9) / ( 7- 2) = -10/ 5 = - 2

* calcul de la constante b
y = ax+ b donc b = y - ax
on utilise les coordonnées de l’un des points, par exemple A (2;9)
b = 9 -(-2)X2 = 9 +4 =13

* conclusion : y = -2x+ 13



(2) par une lecture graphique dans un repère orthonormé :

exemples :

sur ce graphique, cinq droites dont on va essayer de lire l’équation :

D1 :
première remarque, elle passe par l’origine du repère , c’est donc une fonction affine LINEAIRE de la forme y = a x
ensuite elle est croissante (“elle monte”) donc a est positif.
Il suffit de trouver deux points de coordonnées entières et se placer dans une configuration de triangle rectangle pour lire la tangente de l’angle : 3 carreaux verticalement sur 1 carreau horizontalement donc a = 3/ 1 = 3
L’équation de D1 est y = 3 x
D2
:
c’est une fonction affine de la forme y = a x + b
elle est décroissante (“elle descend”) donc a est négatif.
tangente de l’angle : 2 carreaux verticalement sur 3 carreaux horizontalement
donc a = - 2/3
cette droite passe par le point de coordonnées (0;4) , 4 est l’ordonnée à l’origine
L’équation de D2 est y = -2/3 x + 4

D3 :
c’est une fonction affine de la forme y = a x + b
elle est décroissante (“elle descend”) donc a est négatif.
tangente de l’angle : 4 carreaux verticalement sur 1 carreau horizontalement
donc a = - 4
mais problème ! on ne peut pas lire l’ordonnée à l’origine !
on lit un autre point, par exemple celui de coordonnées (9,2) et on remplace dans
y = - 4 x + b
b = y + 4 x = 2 + 4X 9 = 38

L’équation de D3 est y = -4 x + 38

D4 :
c’est une fonction affine de la forme y = a x + b croissante donc a est positif.
tangente de l’angle : 2 carreaux verticalement sur 3 carreaux horizontalement
donc a = 2/3
comme pour D3 on cherche un point
par exemple celui de coordonnées (-4,8) et on remplace dans
y = 2/3 x + b
b = y - 2/3 x = 8 - 2/3X (-4) = 32/3

L’équation de D3 est y = 2/3 x + 32/3
tu remarqueras qu’avec ces tiers ce n’est pas très élégant aussi verras-tu quelques fois noté ainsi :
-2x + 3 y = 32

D5
:
c’est une fonction affine constante donc a = 0
elle passe par le point de coordonnées (0; -1,7)
L’équation de D5 est y = -1,7

• comment trouver les coordonnées du point d’intersection de deux droites ?

En résolvant un système d’équations.
On cherche à savoir quels x et y vérifient l’équation de chacune de ces deux droites, il suffit de résoudre un système de deux équations à deux inconnues x et y .
Si les droites sont sécantes, il n’y a qu’une réponse possible.
Si les droites sont parallèles, il n’existe aucun point d’intersection.

Exemples :

(1) calculer les coordonnées du point d’intersection H des droites D(y = - x+3) et L( y =3x-5):

on pose le système :
y = -x + 3
y = 3x - 5
d’où 3x - 5 = - x + 3 donc 4x = 8 et x = 8/4 = 2
et y =1 donc H (2,1)

(2) calculer les coordonnées du point d’intersection V des droites M (y = 3x+1) et L( y =3x-5)

en posant un système, on arrive vite à une fausse égalité 1 = -5 !! ce qui est impossible !
donc ce point V n’existe pas et quand deux droites sont NON sécantes, c’est qu’elles sont parallèles.

• comment repérer des droites parallèles ?

Prenons l’exemple précédent :
on a vu que les droites M (y = 3x+1) et L( y =3x-5) étaient parallèles, qu’ont-elles de particulier ?
Elles ont le même cœfficient directeur !
Le cœfficient directeur est là pour donner la direction donc des droites de même direction sont des droites parallèles.
Il existe une infinité de droites parallèles à L dont voici quelques exemples d’équations :
y =3x ; y =3x+ 1 ; y =3x-2 etc ..

Appliquons :

Cherchons l’équation de la parallèle à L (y =3x-5) passant par R (2,-1) :

on sait déjà qu’elle aura le même cœfficient directeur : a = 3

Posons
y =ax+ b donc y =3x+ b
b = y -3x
on remplace x et y par les coordonnées de R :
b = -1 -3x2 = -7
donc y = 3x - 7

• comment repérer des droites perpendiculaires ?

Exemple

Plaçons dans un repère orthonormé, les points A(2,0) , B(0, -1) et C(0; 4) puis traçons les droites (AB) et (BC) dont on va définir les équations:
droite (AB) :
cœfficient a = 1/2 et b = -1
d’où l’équation y = 1/2x - 1
droite (AC) :
cœfficient a = 4/ -2 = -2 et b = 4
d’où l’équation y =- 2x + 4
En utilisant le théorème de Pythagore, on obtient AB2=5 , AC2 = 20 et BC2 = 25
soit BC2 = AB2 + AC2 ce qui nous apprend que le triangle ABC est rectangle en A.
Les droites (AB) et (AC) sont donc perpendiculaires ; leurs directions sont orthogonales : qu’est-ce que leur cœfficients directeurs - 2 et 1/2 ont de particulier ?
- l’un est positif, l’autre négatif (normal pour que ces droites se coupent à angle droit)
- ils sont en plus inversés

Effectivement, l’un est l’opposé de l’inverse de l’autre (ou l’inverse de l’opposé, ce qui revient au même), le produit des deux cœfficients directeurs est - 1.

Appliquons :

Cherchons l’équation de la perpendiculaire à L (y =3x-5) passant par R (2,-1) :

on sait déjà qu’elle aura comme cœfficient directeur l’opposé de l’inverse de 3: a = - 1/3

Posons
y =ax+ b donc y =-1/3x+ b
b = y +1/3x
on remplace x et y par les coordonnées de R :
b = -1 +1/3x2 = - 1/3
donc y = -1/3x - 1/3


 
Résumons :


Dans un repère orthonormé, une droite non parallèle à l’axe des ordonnées a une équation de la forme y = ax +b .
a est son cœfficient directeur, il correspond à la pente de la droite et b est l’ordonnée à l’origine .

Un point appartient à une droite quand ses coordonnées vérifient l’équation de cette droite.

Pour déterminer l’équation d’une droite, il suffit
-de connaître les coordonnées de deux de ses points
ou bien
- de connaître son cœfficient directeur et les coordonnées d’un seul point.

Pour trouver les coordonnées du point d’intersection de deux droites sécantes, on pose un système avec les deux équations de droite.

Deux droites parallèles ont le même cœfficient directeur.

Deux droites perpendiculaires ont - 1 comme produit de leurs cœfficients directeurs (l’un est l’opposé de l’inverse de l’autre).
 

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Comment trouver les coordonnées du milieu d'un segment de droite ?

Exemple :

But du jeu : trouver les coordonnées de M, milieu de [EF] :
Place ce point et observe la position de son abscisse (à égale distance de 4 et 10) et de son ordonnée (à égale distance de 5 et 8).
Calcul de l'abscisse de M:
xM = (xE + xF)/2 = (10 + 4)/2 = 7
Calcul de l'ordonnée de M:
yM = (yE + yF)/2 = (8 + 5)/2 = 6,5
Les coordonnées de M sont (7; 6,5)

 
Résumons :


Dans un repère, M est le milieu du segment [AB] :
ses coordonnées représentent la moyenne des coordonnées des points A et B :
M [( xA + xB) /2 ; (yA + yB) /2 ]
 


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Comment déterminer la longueur d'un segment de droite ?


Je te signale que Pythagore nous aide à trouver la formule magique !.
observe le dessin, tu pourras conclure et retrouver la formule :
But du jeu : retrouver la longueur EF :
Considérons le triangle rectangle EFK
rectangle en K, (place-le là où il y a le petit carré rouge)
d'hypoténuse [EF]
Utilisons Pythagore :
EF2 = FK2 + EK2
Comment trouver FK ? différence des abscisses :
FK = xE - xF = 10 - 4 = 6
EK = yE - yF= 8 - 5 = 3
donc EF2 = 62 + 32
EF2 = 45 et EF = V45 = 3V5 soit environ 6,7
(remarquons que l'ordre des points n'a pas d'importance car cette différence est élevée au carré, si on avait pris xF - xE = - 6 , on voit bien que (-6)2 est aussi 36)

 

Résumons :


Dans un repère, on peut utiliser le théorème de Pythagore pour calculer la longueur d'un segment :
Soient les points A et B de coordonnées respectives
A(xA;yA) et B(xB;yB)
AB2= (xB-xA)2 + (yB-yA)2
AB est la racine carrée du calcul précédent.

 

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