CALCULS ALGEBRIQUES

QU'EST-CE QU'UN REEL ?

Un nombre réel peut être rationnel comme les nombres entiers naturels , les nombres décimaux relatifs (entiers ou non), les fractions ( décimales ou non) .. Il peut être irrationnel comme la racine carrée "non exacte" d'un nombre positif ou comme ¶ (Pi ).. L'ensemble des nombres réels est noté IR, il "englobe" les ensembles de nombres déjà connus :

Ex : entier ?décimal
relatif ?
rationnel ? irrationnel ? réel ?
5 oui oui oui non oui
-0,25 non oui ouinonoui
1/2 non oui ouinonoui
-5/3 non non ouinonoui
V4 oui ouiouinonoui
V7 non non non ouioui
non non non ouioui

contre-exemple:
V(-5) n'est pas un réel ( pas de négatif sous un radical !)


LES CALCULS

     

  1. Les fractions
  2. Les nombres relatifs
  3. Les puissances
  4. Les règles du calcul algébrique
  5. Dèveloppements, factorisations ( et produits remarquables)

LES FRACTIONS

* QU'EST-CE QU'UNE FRACTION ?


Une fraction est l'écriture d'un nombre sous la forme d'un rapport entre deux entiers (=quotient de deux entiers), l'un est appelé le numérateur et l'autre est le dénominateur (=diviseur donc toujours différent de 0).
Exemples :
4/5 est une fraction , elle correspond au quotient de 4 par 5 donc au nombre décimal 0,8.
8/10 est une autre fraction représentant ce même nombre.
8/10 est appelée fraction décimale car le dénominateur est une puissance de 10 .
Un nombre décimal peut donc toujours s'écrire sous forme de fraction décimale et inversement .
4/7 n'est pas un nombre décimal car le quotient de 4 par 7 n'est pas exact ; il n'existe donc pas de fraction décimale pour représenter ce nombre .
Autres exemples :
0,0087 = 87/10 000 ;    1,05= 105/100 ;     52 = 52/1
7/4 = 175/100=1,75

Remarque : 0,8 = 4/5= 8/10 = 12/15= 80/100= ..
Il existe une infinité de fractions pour représenter un même nombre donc pour faciliter les calculs, on a pris l'habitude de travailler avec la fraction la plus simple (fraction simplifiée ou fraction irréductible, donc que l'on ne peut plus réduire).
Pour simplifier une fraction, il est préférable d'utiliser directement est le P.G.C.D (= Plus Grand Commun Diviseur ) des deux nombres.

* SIMPLIFICATION DES FRACTIONS :


Il suffit pour cela d'appliquer la propriété fondamentale de la division qui permet de diviser (ou multiplier) les deux nombres d'un quotient par un même nombre :

Exemple:

REMARQUE : A la fin de calculs, il faut penser à donner des résultats simplifiés et à simplifier -si c'est possible - avant de calculer.

*COMPARAISON DE DEUX FRACTIONS :

- si elles ont le même dénominateur, elles sont rangées dans l'ordre de leurs numérateurs

Exemples : 4/7 < 11/7       car : 4 < 11
1/5 < 3/5       vérifions : 0,2 < 0,6
- 3/5 < -1/5       vérifions : -0,6 < -0,2

- si elles ont le même numérateur positif, elles sont rangées dans l'ordre inverse de leurs dénominateurs.


Exemples :
4/7 < 4/3      car : 7>3
3/-2 < 3/-5       vérifions : -1,5 < -0,6

*SOMME DE DEUX FRACTIONS :


Pour calculer la somme de deux fractions, il faut s'assurer qu'elles ont bien le même dénominateur et dans ce cas, il suffit d'ajouter les numérateurs :

Exemples :

Quand elles n'ont pas le même dénominateur, on dit qu'on "les réduit au même dénominateur" :


Exemples :

* PRODUIT DE DEUX FRACTIONS :

Pour calculer le produit de deux fractions, il suffit de multiplier entre eux les numérateurs d'une part et les dénominateurs d'autre part .


Exemples :

Remarque : il vaut mieux simplifier avant de calculer ("en diagonale")
Exemples :


*QUOTIENT DE DEUX FRACTIONS :

Pour diviser par une fraction, il suffit de multiplier par son inverse.


Exemples :

 


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LES NOMBRES RELATIFS

 


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LES PUISSANCES

Une puissance d'un nombre est un produit de facteurs égaux à ce nombre: le nombre des facteurs est indiqué par l'exposant .


Exemples :
25 = 2X2X2X2X2 = 32
34 = 3X3X3X3 = 81

  • Comment calculer une puissance avec la calculette ?

    selon les calculatrices, avant d'écrire l'exposant , il suffira de taper sur la touche :
    xy ou yx
    ou bien sur la touche ˆ ou encore une flèche dirigée vers le haut


    exemple :
    3 8 = ? ( sur la calculette,on tape 3 xy8 ou bien 3 ˆ 8 ...)
    38 = 6561

  • Comment calculer avec des puissances ?

    @ Remarques :
     


    * a 0 = 1
    une puissance d'un nombre non nul d'exposant 0 est égale à 1
    ex : 3 0= 1 ; (-5) 0 = 1 ; 200 0 = 1 ; ¾ 0 = 1 ;
     
    * a1 = a
    Une puissance d'exposant 1 est égale au nombre donné
    ex : 3 1= 3 ; (-5) 1 = -5 ; 200 1 = 200 ; ¾ 1 = ¾ ;
     
    * a-1 = 1/a
    une puissance d'exposant -1 est égale à l'inverse du nombre donné
    ex : 3-1=1/ 3 ; (-5) -1 = -1/5 ; 200 -1 = 1/200 ; ¾-1 = 4/3 ;
     
    * a2 = aXa
    Une puissance d'exposant 2 s'appelle le carré du nombre .
    Un carré est toujours positif
    ex : 32 = 9 ; (-5) 2 = 25 ; 2002 = 40 000 ; ¾2 = 3 2/42=9/16
     
    * a3 = aXaXa
    Une puissance d'exposant 3 s'appelle le cube du nombre .
    Un cube garde le signe (positif ou négatif) du nombre en question.
    ex : 33 = 27 ; (-5) 3 = -125 ; 2003 = 8 000 000 ; ¾3 = 3 3/43=27/64

    @ Propriétés des puissances :
     


    * am X an = am+n
    Le produitde deux puissances d'un même nombre est une puissance de ce nombre ayant pour exposant la somme des exposants.
    Ex : 53 X 57 = 53 + 7 = 510 ; 2-1 X 24 X 2-3 = 2-1+4-3 = 20 = 1
     
    * am / an = am - n
    Le quotientde deux puissances d'un même nombre est une puissance de ce nombre ayant pour exposant la différence des exposants.
    Ex : 53 / 57 = 53 - 7 = 5-4 ; 29 / 2-3 = 29-(-3) = 29 + 3= 212
     
    * (am)n = am X n
    La puissance d'une puissance d'un nombre est une puissance de ce nombre ayant pour exposant le produit des exposants.
    Ex : (53 ) 7 = 53 X 7 = 521 ; 74 )-3 = 74X(-3) = 7-12
     
    * (a X b)m= am X bm
    La puissance d'un produit de deux nombres est un produit de puissances de ces deux nombres affectés de l'exposant donné.
    Ex : (5 X 3 )7 = 57 X 37 ; ( 24 X 3-3 ) 5 = 24X5 X 3-3 X 5 = 220 X 3-15
     
    * (a / b)m= am / bm
    La puissance d'un quotient de deux nombres (ou d'une fraction) est un quotient de puissances de ces deux nombres affectés de l'exposant donné.
    Ex : (5 / 3 )7 = 57 / 37 ; ( 24 / 3-3 ) 5 = 24X5 / 3-3 X 5 = 220 / 3-15
     


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    LES REGLES DU CALCUL ALGEBRIQUE

    * Dans une suite de calculs, on respecte des priorités opératoires :
     
    - il faut d'abord effectuer les calculs entre parenthèses (ou crochets ) s'il y en a
    - ensuite, on calcule les produits ( par multiplication) ou quotients ( par division)
    - en dernier lieu, les sommes algébriques (addition de relatifs)


    Exemples :
    A = -5 + 2 X 7 - 12 : 4
         = -5 + 14 - 3
         = 14 - 8
         = 6
    B = ( -5 + 2 ) X (7 - 12 ) : 4
         = -3 X ( - 5 ) : 4
         = 15 : 4
         = 3,75
      

    Remarque :
    avec les mêmes nombres et les mêmes signes opératoires , on voit bien ici que les nombres A et B sont différents selon la présence ou non de parenthèses ;
    entre deux opérations de "même force" , on commence de gauche à droite (par ex., 2ème ligne de B) ou s'il s'agit de somme de relatifs , on peut associer les positifs puis les négatifs pour calculer (par ex., 2ème ligne de A ).
      

    * La suppression des parenthèses dans les sommes algébriques entraîne ou non des changements de signes :
    un signe - (moins) devant des parenthèses signifie que l'on cherche l'opposé de ce qu'elles contiennent donc en enlevant ces parenthèses, on changera le signe de chaque nombre donné
    Rappel : l'opposée d'une somme est égale à la somme des termes opposés.


    Exemples :
    K = 21 +( 3 + 9 - 5) - (7+ 2 -1 ) + ( - 2 +3 )- (- 4 +3 +9)
    attention ! changement de signes !
         = 21 + 3 + 9 - 5 - 7 - 2 +1 - 2 + 3 + 4 - 3 - 9
    on n'oublie pas d'associer les opposés , évidents (comme 9 et -9) ou non (comme -5 et 1 +4 ) car leur somme est 0 :
         = 21 +3 + 9 - 5 - 7 - 2 +1 - 2 + 3 + 4 -3 - 9
         = 24 - 11
         = 13
    On peut vérifier un tel calcul en effectuant - quand c'est possible - les calculs entre parenthèses :
    K = 21 + 7 -8 + 1 - 8 = 29 - 16 = 13

     
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    DEVELOPPEMENTS, FACTORISATIONS

    Grâce à la distributivité de la multiplication sur l'addition, pour multiplier un nombre par une somme, il suffit de multiplier ce nombre par chaque terme de la somme :
    a x ( b + c ) = a x b + a x c --------- > ceci est un développement
    de même :
    a x ( b - c ) = a x b - a x c
    ( a +b ) x ( c + d ) = a x c + a x d +b x c + b x d
    Remarques :
    pour simplifier , on n'écrira plus le signe X devant les parenthèses ni entre un nombre et une lettre , ou encore entre deux lettres (pour ne pas confondre avec la lettre X )
     
    a ( b + c ) = a b + a c --------- > développement
    a b + a c = a ( b + c ) --------- > ceci est une factorisation
    Un développement transforme un produit en une somme ,
    une factorisation transforme une somme en un produit .


    Exemples :
    développements : factorisations :
    3 (25 + 8 ) = 3X25 + 3X8 = 75 + 24 5X7+5X8= 5 (7+ 8 )
    -7 (6 - 11 ) = -7X6 - 7X(-11)= -42+77 8X3-3X9= 3 (8 - 9 )
    99x98=(100-1)(100-2)
    = 100x100-2x100-1x100-1x(-2)
    =10 000- 200 -100+2
    = 9 702
    987 X 35 + 35X13
    =35 (987 + 13)
    =35 X 1000 = 35 000

     
    * Le calcul littéral est une forme de calcul algébrique où certains nombres sont remplacés par des lettres . On y respecte les mêmes règles de calcul .

    Exemples :
    5a + 3 a = 8 a ; 7 a X 5 = 35 a ; 5a X 4a= 20 a2 ; 3 a + 2b + 5 a + 3b= 8a + 5b
    7m(3a + 2) =21 am + 14 m ; -5x ( 3x3 + 7 x2- 1) = -15x 4-35x 3 +5x
     

    * Les produits remarquables :


    (a + b ) 2 = a 2 + 2 ab + b 2
    carré d'une somme ?
    -----> on ajoute le carré de chaque terme (a2 + b2)et le double produit (2ab)
    (a - b ) 2 = a 2 - 2 ab + b 2
    carré d'une différence ?
    -----> on ajoute le carré de chaque terme (a2 + b2)mais on enlève le double produit ( -2ab)
    (a + b ) (a - b ) = a 2 - b 2
    produit d'une somme par une différence ?
    -----> on écrit la différence des carrés des deux termes (a2 -b2 )


    Exemples :
    Expression a 2 2 ab b 2 développement
    ( 3x + 7)2 = (3x)2 + 2 X3xX7 +72 = 9x2 + 42x + 49
    ( 5 - m)2 = 52 - 2 X5Xm +m2 = 25 + 10m + m 2
    ( 4a+9) (4a-9) = (4a)2   - 92 = 16a2 - 81

     


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